一、引 论
集理论与真理论在很多方面是相似的。在所有的逻辑理论中，这两个理论都是比较基础的，集理论的对象是集合，这是表述整个数学的基础；真理论所研究的是真（truth）本身，这是为逻辑这门学科定位的基本概念。这两个理论发展之初均因为某些素朴的观念而产生了悖论。集理论因为关于集合的内涵模式而出现了罗素悖论；真理论则因为关于真的T-模式出现了说谎者悖论。
为了处理悖论，学者们对这两个理论最终都采取了公理化的手段，试图在消除悖论的同时发展出恰当的集理论和真理论，公理化工作的成效却有明显的差别。集理论的主要公理理论是由策梅洛（E. Zermelo）1908年提出并由弗兰克尔（A. A. Fraenkel）于1922年完善的ZF系统，以及由哥德尔（K. Gödel）和贝尔纳斯（P. Bernays）提出的GB系统。集理论的公理化工作在罗素悖论（1900年）出现后很快完成，目前，ZF系统仍然是主流的公理集合理论。
相比之下，真理论的公理理论难以计数，比如，弗里德曼（H. Friedman）和谢尔德（M. Sheard）1987年提出的FS系统（后面阐述）、费弗曼（S. Feferman）基于克里普克（S. A. Kripke）理论提出的KF系统，等等。所有这些系统（在元理论的意义上）都被证明是一致的，并且这些公理化工作的确达到了消除悖论的目的。真理论的公理理论虽然众多，但是，至今仍没有产生一个类似于ZF在公理集理论中具有主导地位那样的公理理论，而且，这些公理系统究竟孰优孰劣，并没有合适的判别标准。如果这种情况持续下去，关于真理论的研究除了继续生产这样的类似公理理论，并证明其一致性外，基本上没有其他研究与推进。
公理化于集理论之所以重要，并不仅仅是因为它是一致的，更主要的是因为它其中包含了简单优美的结果。事实上，集理论在公理化之前已经有了一些深刻的问题和结果。比如，在康托尔（G. Cantor）的素朴集理论中已经证明实数的不可数性并提出了连续统假设。在公理化的ZF系统中，前者仍能得到证明，而后者则被证明是不可判定的。相比之下，公理化的真理论似乎并没有类似的漂亮结果：如果检查一下那些公理化的真理论，就会发现其中关于真的命题都是非常平庸的、类似于重言式的结论（比如，T(‘A’) 当且仅当T(‘A’)）。与连续统假设相对应的问题是有的：任何一个悖论语句在公理化的真理论中都是不可判定的。但这样的问题语句恰恰是被忽视的，因为它们正是公理化真理论所排斥和限制的对象。
本文认为任何对真理论的公理化工作如果未能包含简单优美的结果，那么就都是空洞乏味的理论，这样的理论即使是一致的也很难被认为是丰富多产的。那么，究竟什么是真理论的简单优美的结果呢？本文借鉴促进近代自然科学进步的方法论转向——从对科学现象的定量描述到目的论解释的转变——来比对真理论的发展历程，揭示真理论的发展也同样经历了类似的过程。本文将阐明塔斯基、克里普克、弗里德曼和谢尔德的理论是比较典型的目的论解释性的真理论，而古普塔和赫兹伯格等人的理论则推进了塔斯基和克里普克的理论，把定量描述引入到真理论中。这个发展过程实现了悖论从目的论解释到定量描述的理论推进，并且这种推进代表了真理论发展的先进方向——正如亚里士多德的目的论解释的物理学为伽利略的定量描述的物理学所推进那样。由此，本文进一步论证了在一个新的T-模式——相对T-模式下，如何把悖论的定量描述深入到描述各悖论矛盾性的条件的层次，从而打通悖论之间的逻辑关联，建立基于逻辑结构的悖论关系图，进而把悖论研究推向一个崭新的阶段。
总体上，本文呈现了现代真理论的主要发展线索，试图说明公理论真理论中的简单优美结果必须通过定量描述方法来得到，预示真理论的发展方向。
二、目的论解释与定量分析
提到伽利略，大多数人都会想到比萨斜塔扔球实验，并认为这个实验代表了近代科学的一种基本精神和进步性，即科学理论必须经受科学实验检验。但是，这个实验的真实性一直令人怀疑。何况这样一个以实物形式完成的实验在科学价值上远低于伽利略在其著作《论两种新科学及其数学演化》中详细给出的另一个实验：一重一轻两个物体捆绑扔下的思想实验。因为不同于前一实验对经验直观的依赖，后面一个实验通过更精巧的设计从逻辑上彻底否定了亚里士多德认为越重的物体下落速度越快的论断。
科学实验——无论是实物实验还是思想实验——对近代科学的产生和发展的价值事实上都被高估了，它根本代表不了近代科学的基本精神。在这点上，科学史家克莱因（M. Kline, 克莱因，2005:188）说得相当清楚：
“科学并不是一系列实验，无论这些实验做得多么巧妙，怎么有水平；同样，科学也不是一系列由实验或理论推导出来的事实。一门科学的真正内容，就是一个理论体系，这个体系以首尾连贯一致的形式包含、组织、叙述、阐明一系列看起来似乎互不相关的事实，而且这个理论体系能够推导出关于物理世界的新结论。单个事实或实验本身几乎没有价值。”
既然科学实验代表不了近代科学的基本精神，那么伽利略所开创的伟业究竟是在哪个方面对科学产生了翻天覆地的推动力？根据克莱因的论证，伽利略在科学方法论上的贡献主要在于把定量描述引入科学之中。“近代科学成功的秘密，就在于在科学活动中选择了一个新的目标。这个由伽利略提出的、并为他的后继者们继续追求的新的目标，就是寻求对科学现象进行独立任何物理解释的定量的描述。”（克莱因，2005: 184）
什么是定量描述，为什么它对科学研究如此重要？这需要把伽利略之前的科学中主要的方法论——目的论解释——进行对照。在伽利略之前的科学家通过科学观察，希腊的科学家们甚至通过一些简单的实验来了解自然。但是，“希腊科学家们主要致力于解释现象为什么会发生的原因。比如，亚里士多德花费了大量时间，试图解释为什么扔向空中的物体会落到地球上。希腊数学家和工程师海伦，利用自然界厌恶真空的原理来解释其他现象；希腊物理学家对没有明显的力引起天体作圆周运动这一问题所作的说明是：圆周运动是自然的运动，因此就不必需要产生或保持这种运动的力。”（克莱因，2005: 184-185）以重物落地的例子，展开来说：亚里士多德认为：自由落体之所以会落下，是因为任何重物都有一个自然位置——宇宙的中心，或者说，地球，并且任何不在自然位置的物体在不受外力的作用下都有向其自然位置移动的倾向。这里至少有两个假设：“任何重物都有一个自然位置”、“宇宙的中心是地球”，这两个假设解释了重物为什么下落的现象。这是目的论解释的一个典型案例。
但是，对于伽利略而言，重物为什么会下落并不重要，重要的是重物下落时，重物下落的距离与下落时间之间有没有一个普遍成立的数量关系。“伽利略第一个认识到，这些关于事件原因和结果的玄想，远远不能增进科学知识，丝毫不能给人们以任何揭示和控制自然界运动的力量。有鉴于此，他提出要以一种关于现象的定量描述来取代那些玄想。”（克莱因，2005: 185）伽利略发现这种关系式是存在的，就是：d = 16t2（在我国的中学课本中，这个式子因单位不同形式为d = 0.5 gt2）。这就是对重物下落的定量描述。
“数学公式是对于所发生事件的一种描述，而不是对引起这种事件因果关系的一种解释，认识到这一点非常重要。公式d = 16t2，对于球为什么下落，以及球在过去或将来是否继续下落等问题没作任何说明。它仅仅给出了关于一个球如何落下的定量描述。……在这些单纯的数学公式中，似乎没有什么真正的价值。它们解释不了什么东西。只是以一种精确的语言来对事物作描述。但是，这些公式却被证明是人类所获得的关于自然界最有价值的知识。”（克莱因，2005: 186）
这样的定量描述的公式大量存在于自然科学、社会科学和数学领域，它们以简美的形式，向世人传递了知识的力量，展示了科学的进步。那么，人文科学，这个最传统、最独特的智慧之学能否容纳定量描述的研究方式，并以此作为理论生长点呢？下文以悖论为观察对象，试图说明定量描述的研究方法至少在悖论研究中起着推动作用，并预示了悖论研究的未来发展方向。
三、说谎者悖论及其家族
公元前4世纪，古希腊哲学家欧布理德(Eubulides of Miletus)提出这样一个问题：一个人说了唯一的一句话：“我在说谎”，问这个人究竟有没有说谎？这个问题的疑难在于：无论假定这个人有没有说谎，都会导致矛盾。这一问题被后人称为“说谎者悖论”。现代一般把说谎者悖论中的那个语句表示为：
语句 (L) 是假的。 (L)
人们又常把这个语句直接称为说谎者悖论。
后世对说谎者悖论进行了研究，不但提出了有关的理论，而且还构造出了说谎者悖论的变形。一个简单的推广如下：
语句 (C2) 是假的， (C1)
语句 (C1) 是真的。 (C2)
不难看出，无论如何对这两个语句赋真假二值之一，总是推出矛盾。因此，上述两个语句是悖论的。这个悖论为英国逻辑学家佐丹（P. Jourdain）发现，现称为佐丹卡片悖论（记为C2）。又据史料记载，这个悖论在中世纪就被发现，被列为布里丹（Buridan，约1330年代）的第九个Sophism(诡辩)。
上面的佐丹卡片悖论可进行一般性的推广如下：
语句 (Cn) 是假的， (C1)
语句 (C1) 是真的， (C2)
……
语句 (Cn-1) 是真的。 (Cn)
上述悖论称为n卡片悖论（记为Cn）。
以上悖论涉及到的语句都是有穷多个的，但悖论的语句可以是无穷多的。考虑以下语句：
对任意n>1，语句 (Yn) 都是假的， (Y1)
对任意n>2，语句 (Yn) 都是假的， (Y2)
对任意n>3，语句 (Yn) 都是假的， (Y3)
……
容易看出这些语句包含逻辑矛盾，因此是一个悖论。这个悖论为美国麻省理工学院哲学系教授亚布鲁（S. Yablo, 1985:340, 又见1993: 251–252）提出，由此得名“亚布鲁悖论”。麻省理工学院哲学系另一位教授麦基（V. McGee, 1985: 400）也提出过一个无穷悖论。它由下面的语句构成：
存在n>0，使得语句 (Mn) 是假的， (M1)
语句 (M1) 是真的， (M2)
语句 (M2) 是真的， (M3)
……
读者可以自己验证这些语句是悖论的。
我国学者在悖论的提出上也有贡献，比如北大数学系教授文兰就提出了下面形式的悖论（文兰，2003:51）：
语句 (B) 为真，但语句 (C) 为假， (A)
或者语句 (A) 为假，或者语句 (C) 为真， (B)
语句 (A)、(B) 都为真。 (C)
对所有这些悖论，其共同的特点是从若干假设出发，经由演绎推理，都能推出自相矛盾的结论。对于这些悖论价值的评价，波兰逻辑学家塔斯基（A. Tarski）有如下评论：
“从科学进步的立场来看，贬低这个[说谎者悖论]和其它悖论，把它们当作说笑或诡辩是十分错误和危险的。⋯⋯。我们必须探索它[说谎者悖论]的成因，即去分析这一悖论所基于的前提；然后至少排除掉这些前提中的某一个，由此去追究这样做对整个研究领域所形成的后果。”（A. Tarski, 1944: 348）
四、悖论的目的论解释性理论
当代悖论的研究始于塔斯基著名的不可定义性定理。这个定理的一种表述是：在一个足够丰富（能表达初等算术）的语言中不可能按照二值的方式（语句非真即假）对本语言的真谓词进行定义（A. Tarski, 1956: 247）。这其中是否对语言中的谓词T是否被合理地定义为该语言的真谓词取决于T模式是否对该语言的任何语句A都成立。塔斯基利用哥德尔句法算术化的技术，构造出语句L，满足T(‘L’) 当且仅当L。这样，假若语言的真可在本语言内定义，在语句只有二值的情况下，L实际上就是说谎者语句，这必然导致矛盾：T(‘L’) 当且仅当T(‘L’)。
塔斯基定理揭示出对一个足够丰富的语言来说，如果其中的语句是非真即假的，那么在这个语言内定义其真谓词必然导致悖论。如前一节末所指出，塔斯基认为，必须找出导致悖论的原因，并通过去除产生悖论的前提来建构一致的真理论。塔斯基把悖论的原因归结为语言的语义封闭性和二值性。所谓语义封闭是指语言含有它自己的真谓词。塔斯基认为二值性对逻辑来说是根本的，必须保留，因此为了消除悖论只能放弃语言的语义封闭性。为此，他主张语言的真谓词只能在语言外获得定义。比如，对于一个语言，不能在本语言内而只能在它的元语言内定义原语言的真谓词，同样元语言中虽含有真谓词，但它仅仅是原语言的，而要谈论元语言的真谓词，我们又必须进入原语言的元元语言，以此类推。由此，就形成了逐渐丰富的语言层次，每个语言的真谓词都出现在这个语言的后继之中，没有任何语言含有它自身的真谓词。
根据塔斯基的语言层次理论，元语言中含有真谓词T，也含有语句L满足L等价于T(‘L’)。但L位于元语言中，而T此时仅仅被解释为原语言的真谓词，而不是元语言的真谓词。因此，虽然有满足L 等价于T(‘L’)的语句L被构造出来，但这个语句并不能带入到原语言的T-模式中，这样，从语句L自然不能推出矛盾，由此，我们甚至不能认定这个语句是“说谎者”。
塔斯基之后，最著名的真理论由克里普克提出。克里普克认为塔斯基真理论中语言层次不符合语言实际，同时也难以处理一些所谓的经验型悖论。此外，塔斯基理论还存在若干技术上的疑难，比如语言层次如何上升到超穷层次。与塔斯基不同，克里普克建构的真理论主张语言应包含自身的真谓词，为此，他放弃了二值性——采用了三值逻辑，特别是克林的强三值逻辑。
克里普克对真谓词进行分阶段构造，在每个阶段都尝试从外延和反外延两个方面对真谓词做出解释。在初始阶段，先对真谓词的外延和反外延做出一个假设（比如可以假设真谓词的外延和反外延都为空）。在以后的每一阶段，都把上一阶段中已知为真的语句纳入到真谓词的外延中，把已知为假的语句纳入到真谓词的反外延中。由此，随着阶段的增长，越来越多的语句进入到真谓词的外延和反外延之中，直到两者都达到饱和，也就是达到了所谓的不动点。这种不动点正好是真谓词的候选者。同时，克里普克对悖论成因做出如下解释：语句之所以会产生悖论是因为它们相对于任何不动点既不真又不假（Kripke, S. A., 1975: 690–712）。
塔斯基和克里普克的理论都以外延性解释的途径构造出在一定程度上满足T-模式的谓词，从而达到在不出现悖论矛盾的条件下建构真谓词的目的。这种途径后来又通过公理化的方式得到展现，这里举一个公理理论进行说明。弗里德曼和谢尔德把一些公认的关于真谓词的原则作为公理提出与T-模式的推理规则形式进行结合，提出了若干公理理论，其中被称为FS系统最为有名，相关的公理与规则如下（Friedman, H. & Sheard, M., 1987: 6）：
公理：T(‘AB’)T(‘A’)T(‘B’)，T(‘A’)T(‘A’)（排中律），(T(‘A’)T(‘A’))（不矛盾律），T(‘xA’) xT(‘A’)
规则：A/T(‘A’)，A/T(‘A’)，T(‘A’)/A，T(‘A’)/A
弗里德曼和谢尔德证明了这个公理理论是一致的，它被看作是关于真的一个公理理论，因为其中的公理是真谓词的基本语义原则，而规则是T-模式的推理表达式。
以上三种理论是现代真理论最有代表性的理论，它们对真与悖论的分析堪称典范。这三者都以消除悖论并构造真谓词作为目标。其中塔斯基理论和克里普克理论是从语义上建构真谓词，前者以语言层次的区分使得语言内部无法表达悖论来达到消除悖论矛盾的目的，而后者则把悖论作为（相对于不动点）非真非假的语句，由此事实上也取消了悖论的矛盾性。至于弗里德曼和谢尔德的FS理论则从公理系统的角度对真谓词加以研究，从其中的公理可以看出，真谓词满足T-模式的推理形式同时还保持了语言的二值性（既有排中律又有不矛盾律）。而这个系统的一致性也表明了它其中的确排除了所有的悖论。很明显，这三个理论对悖论都持有强烈的排斥倾向，都试图通过确定塔斯基所说的“悖论所基于的前提”，最终达到消除悖论的目的。正是在这个意义上，本文认为这三个理论都是目的论解释性的。
五、悖论的定量描述
克里普克之后的真理论影响较大者是古普塔和赫兹伯格。他们各自独立地提出了修正真理论。与克里普克的做法类似，古普塔和赫兹伯格都试图通过分阶段构造的方式规定出不含有悖论矛盾的真谓词。在悖论问题上，古普塔把悖论语句刻画为在真谓词的分阶段构造过程中赋值不稳定的语句。赫兹伯格则进一步指出悖论的这种赋值不稳定性实际上还具有周期性。
比如，如果说谎者语句在起始阶段赋值为真，那么在下一阶段，它的赋值为假，再过一个阶段它的赋值变回真，如此循环反复。因而，可以认为说谎者语句的赋值周期为2。又如，如果佐丹卡片语句在起始阶段的赋值都为真，那么在下一阶段第一个语句为假，第二个语句为真，可简称为：在这个阶段为(F, T)；以后阶段的真值依次为(F, F)、(T, F)、(T, T)，如此等等。这样经过四个轮回，佐丹卡片语句的赋值又回到起初的赋值。由此得出，佐丹卡片语句的赋值周期为4。一般地，如赫兹伯格指出，“悖论语句并不具有一个固定的真值，而是具有赋值的循环模式。这种循环模式是悖论语句最基本的语义特征。”（Herzberger, H. G., 1982: 492）
必须强调指出的是，悖论的周期性特征没有解释悖论为什么会产生矛盾，而只是呈现了悖论矛盾就是这样产生的，用赫兹伯格的话来说，它只是悖论矛盾性特征的一种“展开”（Herzberger, H. G., 1982: 486）。而之所以要关注悖论的周期性特征，仍然借用赫兹伯格话来说明：“它[修正理论]以通常的二值逻辑语言作为起点，其中语义悖论事实上是不可回避的。我不是试图去消除这些悖论，而是考虑这样的一种实验：正面地支持它们的产生，并观察它们以自己特有的方式运作。……，基本的想法就是，后退一步让悖论显示出它们的内在原则。”（Herzberger, H. G., 1982: 479）由此可见，悖论的周期性特征所隐含的方法论原则的确与先前提到那种悖论的目的论解释性原则有根本的不同，周期性所体现的是悖论的一种定量描述，而且这种定量描述没有解释悖论的成因更没有试图去消除悖论。
然而，修正真理论中对悖论作出的定量描述还比较粗糙。这种描述建立了各个悖论在阶段上赋值时的特征，这种特征仅仅针对单个悖论提出，看不出各种悖论之间的逻辑关联。在这个方向上，我们新近的研究对悖论的定量描述进行了推进，使得这种描述能够清楚有效地揭示悖论之间的逻辑关联（Hsiung, M., 2009: 239–271）。此研究的出发点是改造塔斯基原有的T-模式，借助可能世界语义学的工作把T-模式相对化到可能世界。具体地说，设K是一个论域为W关系为R的框架。T-模式在框架K上的相对化就是：对K中满足u通达v的可能世界u和v，都有：在v有T(‘A’)，当且仅当在u有A（Hsiung, M., 2009: 243）。无妨把这个模式称为相对化T-模式。
塔斯基定理表明在基于二值的语言中，在塔斯基T-模式下从悖论出发一定可以推出矛盾。现在，在相对化T-模式下，任何悖论都是在一定条件下才发生矛盾的，而寻找这种条件成为新真理论的一项基本工作。例如，可以证明：说谎者语句在一个框架中是矛盾的，当且仅当这个框架中含有长度不能被2整除的循环（熊明, 2008: 112）。更一般地，n卡片悖论上在一个框架上有矛盾的充要条件与此框架中含有高度不能被其主周期整除的循环（Hsiung, M., 2014: 26）。亚布鲁悖论也有类似的刻画（Hsiung, M., 2013: 26）。由此可得：在说谎者悖论发生矛盾之处，佐丹卡片悖论也一定会发生矛盾，但反之不然。在这个意义上，说谎者悖论的悖论度弱于佐丹卡片悖论的悖论度，从而建立说谎者悖论与佐丹卡片悖论在发生矛盾方面的内在逻辑关联。一般地，可通过悖论度去建立悖论之间的逻辑关联。n卡片悖论的悖论度结构如下图所示：
（图中L表示说谎者悖论，Cn表示n卡片悖论，小于和等于关系用于比较悖论度的强弱）
前面已经指出悖论的周期性特征是悖论的一种定量描述，而对悖论矛盾性条件的刻画正是基于这种描述做出的，这种条件明显带有量的特征，也正因为这种条件，量的特征才使得我们可以比较各个悖论之间的悖论度，从而建立起各个悖论之间的逻辑关联。因此，对悖论的悖论性刻画同样是一种独立于悖论成因解释的定量描述。有鉴于此，如果认为公式d = 16t2是有关重物下落的一个“最有价值的知识”，那么同样也有理由认为悖论的周期性特征以及悖论性条件也是关于悖论的一种有价值的知识。尤其是后者对悖论发生矛盾的条件做出了完全的刻画，实际上建立了悖论在矛盾程度上的某些不变量，这可比之于伽利略公式建立了距离与时间平方比是不变量。因此，与公式d = 16t2类似，对悖论的矛盾性刻画也表现了数学不变量的那种美感和深刻性。在这个意义上，本文认为这种刻画是见得美感的结果。这可以弥补那种排斥悖论的目的论解释性理论的缺失，为悖论的研究开辟新的思路。
总体上说，通过先前的梳理，我们发现在真理论领域，对悖论这种现象的研究出现了从目的论解释转向定量描述的方法论上的变革：人们不再仅仅局限于解释悖论为何产生矛盾这个“质”，而是直接去刻画悖论矛盾性在“量”上的特征。这种变革最早由伽利略带入到物理学研究之中，并对整个物理学重新进行了规划。按克莱因的总结（克莱因, M., 2005: 188），这个规划首先就是要找出物理现象的定量描述，并用数学公式进行表达，其次对被描述中现象的性质进行分离，抽象出合适的理论概念和基本原理，然后在这个概念和原理上进行推演，建立演绎科学体系。我们认为，对真与悖论的研究似乎也可以有类似的规划，我们需要找出各个悖论的定量描述，建立他们矛盾性的充要条件，从这些描述中抽象出悖论度以及相对化T-模式这样的基本模式等，最后在新模式下重构真理论，建立关于真与悖论的演绎系统。
最后，以伽利略的一段话结束本文的讨论：“我们可以说大门已经第一次对一种新方法敞开，这种新方法充满了多种奇妙的结果，将来会引起其他人的关注。”（克莱因, M., 2005: 92）
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（原载《世界哲学》2018年第2期）