一、词项逻辑、谓词逻辑、类逻辑和命题逻辑
(一) 词项逻辑与谓词逻辑
在现代逻辑看来，传统词项逻辑相当于一元谓词逻辑。一元谓词逻辑有不同的系统：作为公理系统，除形成规则外，它的出发点主要是一些公理和变形规则，它的公理和定理都是逻辑规律，其中大部分是用蕴涵式表示的正确推理形式；作为自然推理系统，它的出发点没有公理，除形式规则外，其出发点只是一些变形规则或推理规则，应用这些变形规则，不需要公理就可以推出系统内的～切定理，同时这些变形规则也是具体思维推理的规则。一元谓词逻辑的语形和语义理论可以在一定程度上给传统词项逻辑以恰当的解释。
谓词演算以"和$作为全称量词和存在量词，以x作为个体变元，以S、M、P作谓词变元，以®、∧、┐分别作为蕴涵、合取和否定符。传统词项逻辑SAP、SEP、SIP、SOP四种直言命题中，主项S和谓项P在谓词逻辑看来，都是一元谓词，表示事物的某一性质，其外延是由具有这一性质的事物组成的集合(类)。在谓词逻辑中，这四种直言命题依次表示为：
"x(S(x) ®P(x))；
"x(S(x) ®┐P(x))；
$ x(S(x)∧P(x))；
$ x(S(x)∧┐P(x))。
这样，传统词项逻辑的直接推理式SAP├ ┐SOP就可表述为：
"x(S(x) ®P(x)) ├ ┐$ x(S(x)∧┐P(x))
一元谓词逻辑可以在很大程度上反映传统词项逻辑的特征，但不能完全反映传统词项逻辑的特征。也就是说，一元谓词逻辑与传统词项逻辑仍然存在一些差异。
第一，一元谓词逻辑引入全称量词"x和存在量词$ x刻划了量词的特征，重视量词的独立意义，根据对量词的分析，揭示全称命题和特称命题的结构区别。而在传统词项逻辑中，量项总是和联项联系在一起，没有独立的意义。
第二，谓词逻辑不预设主词或谓词非空非全，而传统词项逻辑则预设了主词和谓词都是非空非全的。正是这种差异导致有些在传统词项逻辑看来有效的推理式，在谓词逻辑看来都是无效的。
第三，谓词逻辑引入了个体变元x，改变了传统词顶逻辑的表达方式。在谓词逻辑看来，一个句子的语法形式和逻辑形式是不完全一致的。一般语词和个体词是不同的。个体词是逻
辑主词，指个体的东西或个体的人；一般语词是逻辑谓词，指个体事物的性质、特征。逻辑主词和逻辑谓词区别于语词主词和语法谓词。一个句子的语法主词和语法谓词都是逻辑谓词，逻辑主词是个体变元。一元谓词只有个体变元受量词约求。
(二) 词项逻辑与类逻辑
从外延的观点看，可以把一元谓词符号解释为个体的集合，即事物的类。在这种解释下，可以把一元谓词演算看作类演算，把传统词项逻辑看作类逻辑。以S、P、M表示任意的类，“xÎS”表示x属于S类(x是S类的分子)，“S=P”表示S类与P类有等同关系，“SÍP”表示S类包含于P类，“υ”表示全类，即论域。由已有的类构成新的类，叫运算。类演算有三个基本的运算，即并、交、补运算。其定义分别是：
并：S∪P=｛x；xÎS∨xÎP｝表示xÎS∨P，当且仅当x属于S类，或属于P类，或同时属于S类与P类。
交：S∩P=｛x；xÎS∧xÎP｝表示xÎ S∩P，当且仅当x同时属于S类和P类，即x是S类和P类的共同分子。如果S类和P类无共同分子，则S∩P是空类，这时称S类与P类不相交。
补：┐S=｛x；xÏS｝其中“xÏS”是“┐(xÎS)”的缩写。表示xÎ┐S (┐S读作S类的补类),当且仅当x不属于S类。因为所有x均属于某一论域(全类)，设υ是论域，则不属于S类的每一分子都属于υ，故补类是相对于论域而言，从υ中除去属于s类的全部事物，就得到属于┐S类的全部事物。传统词项所表示的就是某一确定沦域的补类。
如果把传统词项逻辑中的普遍名词看成类，那么，传统词项逻辑中的A、E、I、O四种直言命题就可以分别表述为：
S∩┐P=W(或SÍP) （SAP）
表示S类与┐P类之交是空类(或S类包含于P类) 。
S∩P=W(或SÍ┐P) （SEP）
表示S类与P类之交是空类(或S类包含于P类)。
S∩P≠W(或SËP) （SIP）
表示S类与P类之交不是空类(或S类不包含于P类)。
S∩┐P≠W(或SË┐P) （SOP）
表示S类与┐P类之交不是空类(或S类不包含于┐P类)。
在上述解释下，传统式SAP├ ┤┐SOP就表述为：
S∩┐P=W，当且仅当并非S∩┐P≠W。全部传统词项逻辑经过适当的解释，可以归结为类演算的一部分，但仍然不能完全反映传统词项逻辑的特征。类逻辑不预设非空非全的类。传统逻辑由于预设了非空非全的类，很多在传统逻辑看来有效的推理式在类逻辑看来都是无效的。这种情形与谓词逻辑完全一致。
(三) 词项逻辑与命题逻辑
卢卡西维茨揭示了亚氏逻辑与命题逻辑的关系。亚氏三段论系统的逻辑常项可以分为两类：一类是同项逻辑常项，包括“所有……是”，“所有……不是”，“有的……是”“有的……不是”。这些常项表示名词或类的关系，构成直言命题形式；另一类是命题逻辑常项，包括“如果……那么”、“并且”和命题否定词“并非”。这些命题联结词表示前提之间或者前提与结论之间的关系，是构成复合命题形式的逻辑常项。亚氏逻辑与命题逻辑一样，是二值逻辑。
为单纯研究三段论蕴涵式中的真假关系，可以用p、q、r表示任意的一个直言命题形式，把一切三段论蕴涵式归结为一个命题逻辑的蕴涵式(模式)，即：p∧q®r。
撇开名词之间的关系，这个蕴涵式的逻辑关系，即前提(前件)与结论(后件)之间的真假关系，正是实质蕴涵关系。但是，与命题逻辑蕴涵式不同，具有p∧q®r形式的三段论蕴涵式一般含有三个不同的名词变项S、M、P。因此，一个三段论涵式是永真式，当且仅当前提(前件)与结论(后件)的实质蕴涵关系对每一个名词变项的每一个解释成立，也即对名词变项任作解释，都不会是前提真而结论假。所以，三段式蕴涵式比命题蕴涵式复杂，它表示一种特殊的蕴涵关系。
三段论的特殊蕴涵关系也就是它的双重逻辑关系，即名词外延(类)之间的关系和命题真假之间的实质蕴涵关系。符合命题之间的实质蕴涵关系的规律是三段论蕴涵式成立的必要条
件。符合名词，即类之间的关系的规律是三段论蕴涵式成立的充分条件。
与亚氏三段论系统不同，传统三段论不包含蕴涵词“如果……那么”和合取词“并且”。在传统三段论式中并没有这两个命题联结词，但这并不说明两种相应的真假关系，即两个前提之间的合取关系以及前提与结论之间的实质蕴涵关系从传统三段论中消失了。这是因为，永真的三段论蕴涵式与正确的三段论推理形式之间有一一对应的关系，可以互推或互换。
二、命题演算与谓词演算或类演算的联合
(一) 命题演算符号在语义上的新解释
希尔柏脱和阿克曼注意到，在传统逻辑中，命题并不是当作整体的，而是内含了逻辑结构的，主要是主词与谓词的联系。为此，希尔柏脱和阿克曼提出，要运用现代逻辑的工具给传统逻辑以恰当的描述，必须把命题演算加以改变，或者至少把它的内容含意加以改变(参见希尔柏脱和阿克曼著《数理逻辑逻础》，科学出版社1958年版)。希尔柏脱和阿克曼认为，命题演算符号在内容上可以有三种解释。第一种解释是它的原意，第二种解释是谓词演算的解释，第三种解释是类演算的解释。
在谓词演算的解释中，逻辑记号与命题演算相同，仍使用X、Y、Z等，但它们不再理解为整个命题，而是解释为谓词。这里的谓词是通常意义上的，表示：借它可以刻画一个主词。所以，更确切说也叫一元谓词或狭谓词。如果X为某个谓词，例如，“是美的”，则┐X指其反面谓词“不是美的”。如果X、Y分别表示谓词“红的”、“白的”，则X∧Y表示谓词“红的且白的”，而X∨Y便是“红的或白的”的符号。其他逻辑符号可当作缩写使用。谓词本身无真假可言。如果说一个公式X∨Y是永真的，现在理解为：这是指谓词X∨Y对一切客体成立。这样，在狭谓词演算中，所有的记号都有了确定的意义。一切公式都具有全称判断的意义。全称判断“所有X都是Y”可以首先写成“一切客体或者不是X或者是Y”，用符号表示，就是┐X∨Y永真或X®Y永真。相应地，全称否定判断“没有X是Y，可表示为┐X∨┐Y永真或X®┐Y永真。
在谓词的新解释下，谓词演算的永真公式和命题演算的永真公式恰巧是一致的。命题演
算的四条公理仍表现为永真公式：
a) X∨X®X
b)X®X∨Y
c) X∨Y® Y∨X
d) (X®Y) ®(Z∨X®Z∨Y)
按照谓词的解释，X®Y意指：凡有性质X的所有客体都具有性质Y。因此，不难看出，公式a)、b)、c)是永真的。公式d)可先解释为：凡是X∨Y的亦是┐(Z∨X)∨(Z∨Y)。然后
可看出其真确性：凡是Y的亦是Z∨Y因而亦是┐(Z∨X)∨(Z∨Y)；凡是┐X的亦是┐X∨Z∨Y，因而，也是(┐X∨Z∨Y) ∧(┐Z∨Z∨Y)，也即是(┐X∧┐Z)∨(Z∨Y)。故凡是┐X的亦是┐(Z∨X)∨(Z∨Y)。因为这些基本公式对任意的谓词均成立，故代入规则仍然有效。分离规则也是有效的，因为，如果一切客体都有性质A，并且凡是A的亦是B，那么一切客体必有性质B。既然谓词演算中的永真公式与命题演算中的相同，那么其证实也可借助于合取范式而得。如果每一个合取项都至少含有一个谓词及其否定，则该合取式是永真的。这样，在命题演算与谓词演算之间就建立起完全的类比。
但是，如果把命题演算公式在谓词演算中所表达的事实给以类演算的解释，则具有更明
显的优点。因为谓词演算中表达的逻辑关系，是基于谓词的外延的，即基于使它成立的那些
客体所组成的区域，而不是基于谓词的内涵或语言形式，所以，可以把每一个谓词对应于一个确定的“类”，在该类中包括了所有使该谓词成立的客体，凡含相同客体的类，就看作是相等的。不含有任何客体的类，称之为空类；含有一切客体的类，叫做全类。由一切不属于类X的客体所组成的类，记为┐X，称之为X的补类；X∧Y包含一切既属于X又属于Y的客体，叫做X与Y的交类；X∨Y包括一切至少属于两类之一的客体，叫做X与Y的并类；X®Y与X«Y仍如前理解为┐X∨Y与(┐X∨Y) ∧(┐Y∨X)的缩写。一公式A永真，意指A是包含一切客体的类。X®Y的永真性意指，X所对应的类为Y所对应的类的子类；X«Y为永真，当且仅当两类X与Y全等。现在类将是演算的对象，所以叫“类演算’。在 新的规定下，谓词演算的一切规则对于类演算仍然成立不变，类演算的公式所表达的逻辑关系和谓词演算所表达的恰巧又是一致的。这样，通过对谓词的类的解释，谓词演算与类演算之间，从而命题演算与类演算之间就建立起完全的类比。
（二）对直言命题形式及其推论形式的语形处理
希尔柏脱和阿克曼认为，根据上述初步的解释，就可以把传统推理的有些形式作现代逻辑的处理。例如，传统三段论第一格AAA式现在可以写成这样的形式：
(M®P) ∧(S®M)®(S®P)
这一命题表现了蕴涵的传递是普遍有效的。证明其有效性的方法：把整个关系式化为合取范式，确定这个合取范式是否符合永真命题联系所具有的条件。本例中这个条件恰好存在。
但是，要把传统逻辑内所有的推理都在谓词演算或类演算中加以形式化，仅仅有对于全称判断的表示是不够的。还必须找到一种方法来表示特称判断。因为谓词演算中的关系可以看成一个命题，从而受命题演算规律支配，这就很自然地导致把命题演算与谓词演算或类演算联合起来，建立一个联合演算。其中逻辑记号∧、∨、┐等部分地用作命题的联结词，部分地用作谓词的联结词。特称判断的表示法可以在联合演算中得到解决。
先是遇到这样的困难：到底命题X是指“谓词X对任何客体不成立”呢，还是指“非
谓词X对一切客体成立”？希尔柏脱和阿克曼巧妙地解决了这一问题。他们引入了一个新的符号“｜｜”(以下称竖号)来加以区分。用｜X｜表示“X对一切客体都成立。”这里，X表谓词，而｜X｜表命题。“谓词X对任何客体不成立”现在表示为｜┐X｜，而“并非谓词X对一切客体成立”表示为┐｜X｜。｜X∨Y｜表示：谓词X对一切客体成立或谓词Y对一切客体成立。现在看看如何表示特称判断。例如，特称判断“有些X是Y”可变形为“并非一切X是┐Y”。“一切X是┐Y”的符号表示：｜┐X∨┐Y｜，其逻辑否定┐｜┐X∨┐Y｜正好可以解释为“并非一切X是┐Y”。至此，传统逻辑中的四种判断在联合演算中都有了相应的符号形式：
｜┐S∨P｜ (SAP)
｜┐S∨┐P｜ (SEP)
┐｜┐S∨┐P｜ (SIP)
┐｜┐S∨P｜ (SOP)
这样，传统名词逻辑中所有的推理式都可以在联合演算中找到相应的关系式。例如，直接推理式SAP├SIP，可表示为：
｜┐S∨P｜®┐｜┐S∨┐P｜
三段论第一格AAA式，可表示为：
｜┐M∨P｜∧｜┐S∨M｜®｜┐S∨P｜。
希尔柏脱和阿克曼的联合演算思想并未发育成熟，但是，只要我们不畏艰难，沿着这条崎岖的小道探索下去，就一定能够为全面、深入地理解词项逻辑、谓词逻辑、类逻辑和命题逻辑之间的关系，特别是传统逻辑与现代逻辑的关系，开辟广阔的空间。
（原载《淮阴师范学院学报（哲学社会科学版）》2003年第三期。）